如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E

（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2， ﹣4）。
（3）S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。


试题分析：（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标：
∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，∴OA=OD。
∵OA=2，∴OD=2。∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2。∴E点坐标是（2，2）。
（2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN= ，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b）， ，CN=6+b，MN= 。分CM=CN，CM=MN， CM=MN三种情况分别求出点M的坐标。
（3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据题意得：
当0≤x≤2时，
∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠EPD=90°，∴∠DPE=∠EPD。
∴△PBN∽△DEP，∴ ，即 。∴ 。
∴ 。
当2＜x≤6时，
∵△PBN∽△DEP，∴ ，即 。∴ 。
∴ 。
∴S与x之间的函数关系式： 。
根据①当0≤x≤2时，S=x ² ﹣8x+12=（x﹣4） ² ﹣4，②当2＜x≤6时，S=﹣x ² +8x﹣12=﹣（x﹣4） ² +4，即可得出答案。
（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四边形AODE为正方形，
过M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，
∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4，MN= 。
∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，
∴设MN的解析式为y=x+b，
而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，∴M（2，2+b），N（6，6+b）。
∴ 。
分三种情况讨论：
①当CM=CN时，4 ² +（2+b） ² =（6+b） ² ，解得：b=﹣2，
此时M（2，0）。
②当CM=MN时，4 ² +（2+b） ² =（ ） ² ，解得：b ₁ =2，b ₁ =﹣6（不合题意舍去），
此时M（2，4）。
③当CM=MN时，6+b= ，解得：b= ﹣6，
此时M（2， ﹣4）。
综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：
（2，0），（2，4），（2， ﹣4）。
（3）S与x之间的函数关系式为： 。
①当0≤x≤2时，S=x ² ﹣8x+12=（x﹣4） ² ﹣4，
当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2；
②当2＜x≤6时，S=﹣x ² +8x﹣12=﹣（x﹣4） ² +4，
当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6。
综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。