已知：如图，在平面直角坐标系 O 中，矩形OABC的边OA在 轴的正半轴上，OC在 轴的正半轴上，OA=2，OC=3.过

（1） ；（2）EF=GO成立；（3）Q（2，2）或Q（1， ）或Q（ ， ）


试题分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；
（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax ² +bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得


（2）EF=2GO成立．

∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为 ，
∴点M的纵坐标为
设DM的解析式为y=kx+b ₁ （k≠0），将点D、M的坐标分别代入

∴DM的解析式为
∴F（0，3），EF=2．
过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK

∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），
则设P（t，2）．
∴PG ² =（t-1） ² +2 ² ，PC ² =（3-t） ² +2 ² ，GC=2．
①PG=PC，则（t-1） ² +2 ² =（3-t） ² +2 ² ，
解得t=2．
∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，则（t-1） ² +2 ² =2 ² ，
解得t=1，
∴P（1，2），
此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴Q（1， ）
③若PC=GC，则（3-t） ² +2 ² =2 ² ，解得t=3，
∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h）．

解得h ₁ = ，h ₂ =-2（舍去）．
∴Q（ ， ）．
综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1， ）或Q（ ， ）．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．