（本小题满分14分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的

，取B ₁ B的中点M，

（1）连AC、B ₁ H，则EF//AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B ₁ B⊥平面ABCD，所以B ₁ H⊥EF，
∴∠B ₁ HB为二面角B ₁ —EF—B的平面角。 ………………2分
在

故二面角B ₁ —EF—B的正切值为 …………4分



（2）在棱B ₁ B上取中点M，连D ₁ M、C ₁ M。 ∵EF⊥平面B ₁ BDD ₁ ，
所以EF⊥D ₁ M。 …………6分
在正方形BB ₁ C ₁ C中，因为M、F分别为BB ₁ 、BC的中点，
∴B ₁ F⊥C ₁ M …………8分
又因为D ₁ C ₁ ⊥平面BCC ₁ B ₁ ，所以B ₁ F⊥D ₁ C ₁ ，
所以B ₁ F⊥D ₁ M，
∴D ₁ M⊥平面EFB ₁ ………………10分
（3）设D ₁ M与平面EFB ₁ 交于点N，则D ₁ N为点D ₁ 到平面EFB ₁ 的距离。……11分
在Rt△MB ₁ D ₁ 中， …………12分

故点D ₁ 到平面EFB ₁ 的距离为 ………………14分
解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD ₁ 分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则



………………2分 设平面EFB ₁ 的一个法向量为

故二面角B ₁ —EF—B的正切值为 …………4分
（2）设

………………10分
（3）
∴点D ₁ 到平面EFB ₁ 的距离 …………14分