设函数f(x)＝13x3−12(2a−1)x2+[a2−a−f′(a)]x+b，(a，b∈R）

解题思路：（1）由已知条件得f′（x）=x²-（2a-1）x+a²-a-f′（a），由此能求出f^'（a）=0．
（2）由（1）知f′（x）=x²-（2a-1）x+（a²-a）=[x-（a-1）]（x-a），令f′（x）＞0，得x＜a-1，或x＞a；令f′（x）＜0，得a-1＜x＜a，故f（x）在（-∞，a-1]上单调递增，在[a-1，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，由此能求出b的取值范围．

（1）∵f(X)＝
1
3x3−
1
2(2a−1)x2+[a2−a−f(a)]x+b(a，b∈R）
∴f′（x）=x²-（2a-1）x+a²-a-f′（a），
∴f′（a）=a²-（2a-1）a+a²-a-f′（a），
∴f^'（a）=0．
（2）∵f(X)＝
1
3x3−
1
2(2a−1)x2+[a2−a−f(a)]x+b(a，b∈R）
∴f′（x）=x²-（2a-1）x+a²-a-f′（a），
∴f′（a）=a²-（2a-1）a+a²-a-f′（a），
∴f′（a）=0．
∴f′（x）=x²-（2a-1）x+（a²-a）=[x-（a-1）]（x-a），
令f′（x）＞0，得x＜a-1，或x＞a；令f′（x）＜0，得a-1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，a-1]上单调递增，在[a-1，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
∵0≤a≤1，∴f（x）在x∈[0，1]上的最小值为f（a）=[1/3a3−
1
2a2+b，
∴
1
3a3−
1
2a2+b＞1在a∈[0，1]上恒成立．
即b＞-
1
3a3+
1
2a2+1在a∈[0，1]上恒成立，
令g(x)＝−
1
3x2+
1
2x2+1(0≤x≤1)，
则g′（x）=-x²+x=-x（x-1）≥0，
∴g（x）在x∈[0，1]上单调递增，
∴1≤g(x)≤
7
6]，
∴b＞
7
6．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

现在的高中就开始学导数了啊，还有什么新内容啊？