数列{an}中，an+1是函数fn(x)＝13x3−12(an+3)x2+(an+2)x(n∈N*)的极小值点，且a1=

解题思路：（1）利用函数的极值概念得到fn′(an+1)＝an+12−(an+3)an+1+an+2＝0，从而得到递推关系式（an+1-1）（an+1-an-2）=0即an+1=an+2，从而可求{an}的通项公式；（2）Sn＝n2+2n，当n=1，2，3，4，5时，n2+2n＞2n，猜想n≥6时，n2+2n＜2n，然后运用数学归纳法证明．

（1）由题意得：fn′(an+1)＝an+12−(an+3)an+1+an+2＝0．…（1分）
∴（a_n+1-1）（a_n+1-a_n-2）=0，
∴a_n+1=a_n+2，
∵a₁=3，∴a_n=2n+1．…（3分）
（2）Sn＝
n(3+2n+1)
2＝n2+2nb，当n=1，2，3，4，5时，n²+2n＞2ⁿ…（1分）
猜想n≥6时，n²+2n＜2ⁿ…（1分）
下用数学归纳法证明
①当n=6，左边=6²+2×6=48＜右边=2⁶=64，成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即k²+2k＜2^k，…（1分）
那么2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），
即当n=k+1时，不等式也成立，…（2分）
由①、②可得：对于所有的n≥6（n∈N^*）都有n²+2n＜2ⁿ成立．…（1分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查函数的极值，考查等差数列的判定与通项的求解，考查大小比较，考查数学归纳法的运用，确定数列的通项是关键．