a+lnx |
x |
rokai1977 幼苗
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a+lnx |
x |
(Ⅰ)∵a=4,
∴f(x)=
lnx+4
x且f(e)=
5
e.(1分)
又∵f′(x)=
(lnx+4)′x−(lnx+4)x′
x2=
−3−lnx
x2,
∴f′(e)=
−3−lne
e2=−
4
e2.(3分)
∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为:y−
5
e=−
4
e2(x−e),
即4x+e2y-9e=0.(4分)
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1−(lnx+a)
x2,(5分)
令f'(x)=0得x=e1-a.
当x∈(0,e1-a)时,f'(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(e1-a,+∞)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;(7分)
∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,即f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1.(8分)
(Ⅲ)(i)当e1-a<e2,即a>-1时,
由(Ⅱ)知f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2]上是减函数,
∴当x=e1-a时,f(x)取得最大值,即f(x)max=ea-1.
又当x=e-a时,f(x)=0,当x∈(0,e-a]时,f(x)<0,
当x∈(e-a,e2]时,f(x)∈(0,ea-1],
所以,f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点,
等价于ea-1≥1,解得a≥1,
又因为a>-1,所以a≥1.(11分)
(ii)当e1-a≥e2,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数,
∴f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=
2+a
e2,
∴原问题等价于
2+a
e2≥1,解得a≥e2-2,
又∵a≤-1∴无解
综上,a的取值范围是a≥1.(14分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考点是利用导数研究函数极值,考查了用导数研究函数的单调性以及借助单调性确定函数的极值、最值的位置,解决与极值、最值有关的一些问题,本题综合性较强,涉及到的知识与运算规则较多,题目难度较大,做题时要注意体会本题的这些特点.
1年前
1年前1个回答
已知函数f(x)=1+lnxx在区间(k+1,+∞)上存在极值.
1年前1个回答
已知函数f(x)=1+lnxx在区间(k+1,+∞)上存在极值.
1年前3个回答
1年前1个回答
(2012•惠州一模)已知函数f(x)=1+lnxx,(x≥1)
1年前1个回答
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已知函数f(x)=2sinxcosx+sin(2x+π2).
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1年前2个回答
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你能帮帮他们吗