1+lnx |
x |
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3 |
k |
x+1 |
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n+1 |
ASnow 幼苗
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1+lnx |
x |
1 |
3 |
k |
x+1 |
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n+1 |
1)函数f(x)=
1+lnx
x的定义域为(0,+∞),
f′(x)=(
1
x+
lnx
x)′=−
1
x2+
1
x•x−lnx
x2=−
lnx
x2.
由f′(x)=0,解得:x=1,当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,由f′(x)<0,
∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
函数f (x)在x=1处取得唯一的极值
由题意得
a>0
a<1<a+
1
3,解得[2/3<a<1,故所求实数a的取值范围为(
2
3,1).
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1]恒成立化为:[1+lnx/x≥
k
x+1],
即k≤
(x+1)(1+lnx)
x在[1,+∞)恒成立,
令g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x(x≥1),则g′(x)=
x−lnx
x2
令h(x)=x-lnx(x≥1),则h′(x)=1−
1
x≥0,当且仅当x=1时取等号
所以h(x)=x-lnx在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1)=1>0
因此g′(x)=
x−lnx
x2=
h(x)
x2>0,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)max=g(1)=2,
因此,k≤2,即实数k的取值范围为(-∞,2];
(3)证明:由(2)知,当x≥1时,不等式f(x)≥
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用;数列与不等式的综合.
考点点评: 此题主要考查应用导数研究函数的极值最值问题,有关恒成立的问题一般采取分离参数,转化为求函数的最值问题,体现了转化的思想方法,证明数列不等式,借助函数的单调性或恒成立问题加以证明.属难题.
1年前
1年前1个回答
(2009•孝感模拟)已知函数f(x)=1-a+lnxx,a∈R
1年前1个回答
(2009•孝感模拟)已知函数f(x)=1-a+lnxx,a∈R
1年前1个回答
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