（2014•南昌模拟）设函数f（x）=lnx+（x-a）2-[a/2]，a∈R．

（2014•南昌模拟）设函数f（x）=lnx+（x-a）2-[a/2]，a∈R．
（1）若函数f（x）在[[1/2]，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点．
（3）设x=m为函数f（x）的极小值点，f（x）的图象与轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2＜m，AB中点为C（x0，0），比较f′（x0）与0的大小．
flying_xiang 1年前 已收到1个回答 举报
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jineb_cici 幼苗

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解题思路：（1）求出函数f（x）的导函数，进而根据函数f（x）在[[1/2]，2]上单调递增，f′（x）≥0恒成立，得到实数a的取值范围；
（2）令h（x）=2x2-2ax+1，分a≤0时，当a＞0时，△≤0和△＞0，两大类三小类情况，分析导函数在各区间上的符号，进而可得函数的单调性及函数f（x）的极值点．
（3）由x=m为函数f（x）的极小值点，0＜x1＜x2＜m，AB中点为C（x0，0），可得f′（x0）=[2x1+x2-
1
x2−x1
[
2(
x2
x1
−1)
x2
x1
+1
−ln
x2
x1
]，令t=
x2
x1
∈（0，1），且g（t）=
2t−2/t+1]-lnt，利用导数法可得g（t）在（0，1）上递减，进而得到f′（x0）＜0．

（1）∵f（x）=lnx+（x-a）2-[a/2]，
∴f′（x）=[1/x]+2（x-a）=
2x2−2ax+1
x，
依题意得，在区间[[1/2]，2]上不等式2x2-2ax+1≥0恒成立．
又∵x＞0，所以2a≤（2x+[1/x]），
∴2a≤2
2，
即a≤
2，
∴实数a的取值范围是（-∞，
2]．
（2）由（1）知：f′（x）=
2x2−2ax+1
x，
令h（x）=2x2-2ax+1，
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f′（x）＞0恒成立，
此时，函数f（x）没有极值点；…（6分）
②当a＞0时，
（ⅰ）当△≤0，即0＜a≤
2时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f′（x）＞0恒成立，
此时，函数f（x）没有极值点；
（ⅱ）当△＞0，即a＞
2时，
易知，当
a−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，综合性强，运算量大，属于难题．

1年前

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