(2010•长春模拟)已知函数f(x)=lnxx,g(x)=38x2−2x+2+xf(x).

(2010•长春模拟)已知函数f(x)=
lnx
x
g(x)=
3
8
x2−2x+2+xf(x)

(Ⅰ)求函数y=g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=g(x)在[en,+∞)(n∈Z)上有零点,求n的最大值.
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何奔 幼苗

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解题思路:(1)令g′(x)>0,得到g(x)的单调增区间;令g′(x)<0,得到g(x)的单调减区间.
(2)容易求得g(x)在[[2/3],+∞]的最小值为g(2)大于0,若g(x)在[en,+∞)(n∈Z)上有零点,只能在(0,[2/3])上存在零点,故只须令en<[2/3]且g(en)≤0,找到n的最大值即可.

(Ⅰ)由题知:g(x)=[3/8]x2-2x+2+lnx的定义域为(0,+∞)
g/(x)=
(3x−2)(x−2)
4x
当g′(x)>0,即0<x<[2/3]或x>2时,函数g(x)为增函数;
当g′(x)<0,即[2/3]<x<2时,函数g(x)为减函数.
所以,g(x)的单调递增区间为(0,[2/3]),(2,+∞),单调递减区间为([2/3],2)
(Ⅱ)∵g(x)在(2,+∞)上为增函数,在([2/3],2)上为减函数,
∴g(x)在x∈[
2
3,+∞)上的最小值为g(2)
且g(2)=[3/8×22−4+2+ln2=ln2−
1
2=
ln4−1
2>0
∴g(x)在x∈[
2
3,+∞)上没有零点,
∴要想使函数g(x)在[en,+∞)(n∈Z)上有零点,并考虑到g(x)在(0,
2
3])单调递增且在([2/3],2)单调递减,故只须en<
2
3且g(en)≤0即可,
易验证g(e−1)=
3
8•e−2−2•e−1+1>0,g(e−2)=
3
8•
1
e4−
2
e2+2+lne−2=[1
e2(
3/8•
1
e2−2)<0,
根据g(x)在(0,
2
3])为单调递增函数,当n≤-2且n∈Z时均有g(en)≤g(e-2)<0,
即函数g(x)在[en,e-1]⊂[en,+∞)(n∈Z)上有零点
∴n的最大值为-2.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题较好,是关于函数的综合题,主要考查函数的单调性、最值、零点等函数的基本知识,应熟练掌握.

1年前

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