设A3×3是实对称矩阵，|A|=-12，A的三个特征值之和为1，且α=（1，0，-2）T是方程组（A*-4E）x=0的一

解题思路：①矩阵A的求法，就是三个对应特征值的特征向量利用P∧P^-1，根据这个思路，对已知的式子进行变换即可．
②要求的得这个式子的通解，不一定要自己一步一歩计算，式子两边同乘以A即可求得所需要的通解．

解①因为α=（1，0，-2）^T是方程组（A^*-4E）x=0的一个解向量
⇒（A^*-4E）α=0，
即A^*α=4α，
又A^*A=AA^*=|A|E=-12E，
故AA^*α=4Aα=-12α⇒Aα=-3α，
所以α=（1，0，-2）^T是A的对应特征值λ₃=-3的特征向量；
设A的另外两个特征值为λ₁，λ₂，
则λ₁+λ₂+λ₃=1，λ₁λ₂λ₃=|A|=-12，
解得λ₁=λ₂=2，
设λ₁=λ₂=2对应的特征向量为x＝(x1，x2，x3)T，
则它与α=（1，0，-2）^T正交，即x₁-2x₃=0，
其基础解系为α1＝(0，1，0)T，α2＝(2，0，1)T，
令P=（α₁，α₂，α），则P−1AP＝Λ＝

2
2
−3，
所以A＝PΛP−1＝

102
020
20−2
②（A^*+6E）x=0
⇒（AA^*+6A）x=0
⇒（A-2E）x=0，
A−2E＝

−10

点评：
本题考点： 矩阵的特征值和特征向量的求解．

考点点评： 本题主要考查特征值和特征向量，解此类题无非是对特征值和特征向量的性质进行灵活运用，来使题目简化，从而可以求解出答案，本题属于综合题．