（2014•孟津县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交

解题思路：（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）中，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．可得△BMF∽△BCO，根据相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理可求直线DE上两点M、N的坐标，再根据待定系数法可求直线DE的解析式；
（3）①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（[5/2]，2），以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P₁，以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称，⊙N交抛物线对称轴于点P₂，从而确定P点坐标．

（1）由题意，得：

a+b+c＝0
16a+4b+c＝0
c＝2
解得：

a＝
1
2
b＝−
5
2
c＝2．
故这个抛物线的解析式为y=[1/2]x²-[5/2]x+2．

（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴[MF/CO]=[BF/BO]=[BM/BC]=[1/2]．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=[3/2]，
∴N（[3/2]，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件由待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理的运用，综合性较强，有一定的难度．