如何证明在正整数n和它的倍数2n之间必有一个素数存在?

这个结论被称为Bertrand假设,证明虽然初等,但是需要比较细致的估计.
我这里只能提个大意,完整的证明可见华罗庚《数论导引》五章7节.
证明基于对组合数C(2n,n)的分析.
i) 首先有估计,n>4时,4^n/(2n) < C(2n,n) < 4^(n-1).
ii) 注意到(n,2n]中的素数均整除C(2n,n) = (2n!)/(n!)²,可由此给出这些素数乘积的上界4^(n-1).
将[1,N]拆分成(N/2,N],(N/4,N/2],(N/8,N/4],...可得到素数乘积的上界估计.
具体的结果是(10,N]中素数的乘积 < 4^N.
iii) 更细致的分析C(2n,n)包含的素因子.
由阶乘的因子分解公式,素数p在C(2n,n)中的指数r满足p^r ≤ 2n.
故大于√(2n)的素因子最多出现一次.此外,可证明(2n/3,n]中的素数不整除C(2n,n).
据此将C(2n,n)的素因子分成三段估计:
(1,√(2n)]中的不同素因子最多√(2n)个,每个的指数都使方幂 ≤ 2n,这部分 < (2n)^(√(2n)).
(√(2n),2n/3]中的素数至多出现一次,这部分不超过(10,2n/3]中素数的乘积 < 4^(2n/3).
(n,2n)中若没有素数,相当于这部分=1.
结合C(2n,n)的下界得到不等式 4^(n/3) < (2n)^(√(2n)+1).
如果熟悉无穷大的阶,不难知道左端是更高阶的无穷大(比如取对数),n充分大时不可能成立.
也就是对充分大的n,我们证明了(n,2n)中存在素数.
iv) 详细的估计给出这里的充分大只要n > 4000.
取一列素数2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001.
后者 < 前者的2倍,由此可以证明n ≤ 4000的情况.

题目是证明在正整数n和它的倍数2n之间，表示n属于Z+时，n当n=1时，1

1年前

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