高中立体几何在四棱锥p-abcd中底面abcd为梯形,ad//bc,ab=ad=1/2bc,∠abc=60度,平面pab

在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=1/2BC,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB.(1)求证:PB⊥AC；(2)若PA=PB=1,求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
（1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=1/2BC,∠ABC=60°,
∴AC⊥AB,
∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB
∴AC⊥面PAB==>AC⊥PB
(2)解析：∵PA⊥PB,设PA=PB=1,∴AB=√2,BC=2√2,AC=√6
过P作PE⊥AB交AB于E,过E作EF//AC交BC于F
∴E为AB中点,F为BC中点,EF⊥面PAB
建立以E为原点,以EB方向为X轴,以EF方向为Y轴,以EP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系E-xyz
则点坐标：
E(0,0,0),A(-√2/2,0,0),B(√2/2,0,0),C(-√2/2,√6,0),D(-√2,√6/2,0),P(0,0,√2/2),F(0,√6/2,0),
向量EF=(0,√6/2,0)是面PAB的一个法向量,|向量EF|=√6/2
向量PD=(-√2,√6/2,-√2/2)
向量PC=(-√2/2,√6,-√2/2)
设向量m=(x,y,z)是面PCD的一个法向量
向量PD*m=-√2x+√6/2y-√2/2z=0
向量PC*m=-√2/2x+√6y-√2/2z=0
令z=1,解得x=-1/3,y=√3/9
∴向量m=(-1/3,√3/9,1)==>|向量m|=√93/9
向量EF*m=0+√2/6-√2/2=-√2/3
Cos=向量EF*m/[|向量EF|*|m|]=(-√2/3)/( √6/2*√93/9)=-2√31/31
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为2√31/31

证明：连接AC、BD，交于O

∵AB＝AD＝1/2BC ∠ABC＝60°

∴∠BAC＝90° → AC⊥AB → ∠ACB＝∠ABD＝∠DAC＝∠ADB＝30°

∴△AOD和△BOC为等腰三角形 → △AOB≌△COD → AB＝DC

∴梯形ABCD为等腰梯形

∵△APB⊥梯形ABCD AC⊥AB

∴AC⊥△APB

∴AC⊥PB

延长BA、CD交于E，连接PE，与过A点做PE的垂线AF，连接FC

∵△PAB和△PCD分别在△PBE和△PCE中

∴PE为△PAB和△PCD两平面的交线

∵AC⊥△APB

∴AC⊥PE

∵AF⊥PE

∴PE⊥RT△AFC → CF⊥PE

∴∠AFC即为所求

如图，过P做PG⊥AB于G

AF／AE＝AG／PE → AF＝[﹙√2／2﹚／√5]×√2＝√5／5

AC＝√3AB＝√6

∴ cos∠AFC＝AF／FC＝﹙√5／5﹚／﹙√31／√5﹚＝√31／31