设f（x）在[0，1]上连续，且0≤f（x）≤1，证明：至少存在一点ξ∈[0，1]，使得f（ξ）=ξ．

解题思路：令g（x）=f（x）-x，注意到f（x）的连续性以及取值范围，利用连续函数的零点存在定理即可证明．

①如果f（0）=0，则取ξ=0即可．
②如果f（1）=1，则取ξ=1即可．
③如果f（0）≠0，且f（1）≠1，
故由0≤f（x）≤1可得，
f（0）＞0，f（1）＜1．
令g（x）=f（x）-x，
则g（x）在[0，1]上连续，且g（0）＞0，g（1）＜0．
故由连续函数的零点存在定理可得，
至少存在一点ξ∈[0，1]，使得g（ξ）=0，
即：f（ξ）=ξ．

点评：
本题考点： 用罗尔定理判断导函数根的存在问题；零点定理及其推论的运用．

考点点评： 本题主要考查了利用连续函数的零点存在定理证明函数根的存在性问题，是证明函数零点存在性的常用方法，需要熟练掌握．

解 :
若f(0)=0 或f（1）=1 证毕
当f（0）不为0且f（1）不为1时，显然 f(0)>0 f(1)<1
相对于直线y=x (0<=x<=1) 因为f(x)连续 f（0）在直线上，f（1）在直线下，故f(x)必有一点穿越y=x 这点就是f(ξ)=ξ.0≤f(x)≤1为什么“显然f(0)＞0,f(1)＜0”是f(1)<1因为题目规定 f(x)>=0 <=1既然不为...