求助一道高数证明题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导数,且f(0)=f(1)=0证明：在（0,1）内至少存

求助一道高数证明题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导数,且f(0)=f(1)=0
证明：在（0,1）内至少存在点a和b,使得|f'(a)|≥2M且|f'(b)|≤2M；其中M是0≤x≤1时,|f(x)|的最大值

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由于|f(x)|在[0,1]上连续,则M可以在区间[0,1]上取到.如果在0或者1取到,则M=0,在(0,1)上f(x)恒为0,任意一点x的f'(x)=0,显然满足结论.
否则,设M在c点取到,则c-0和1-c中必有一个=0.5.那么不妨设c

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