一道高数证明题设f(x)∈C[-a,a](a>0),f(0)=0,写出带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式,证明在[-a,a

一道高数证明题
设f(x)∈C[-a,a](a>0),f(0)=0,写出带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式,证明在[-a,a]上至少存在一个§使(a^3)f '' (§)=3∫[-a,a]f(x)dx

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f(x)=f'(0)x+f"(θx)x^2/2,其中θx为x的函数,θx∈[-a,a]
对上式两边进行积分,并根据积分中值定理,∫f(x)dx=∫f'(0)xdx+∫f"(θx)x^2/2dx=f'(0)(a^2-(-a)^2)+f"(ξ)/2(a^3/3-(-a)^3/3)=f"((ξ)a^3/3,其中ξ∈[-a,a]

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