已知函数f(x)＝13x3+ax2+bx，a，b∈R．

解题思路：（1）曲线在P（1，2）处的切线与y=2x+1平行等价于函数在该点的导数为2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知g(x)＝

m

3

(x3−2x2)，g′（x）=mx（x-[4/3]），分类讨论：分m＞0时，m＜0时两种情况讨论，g（x）的单调性，进而可求g（x）的极小值
（3）由题意可得f′（x）=0即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根，根据二次方程的实根分布可求

（1）对函数求导可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由题设知：

f(1)＝
1
3+a+b＝2
f′(1)＝1+2a+b＝2解得

a＝−
2
3
b＝
7
3.（4分）
（2）由（1）知g(x)＝
m
3(x3−2x2)，g′（x）=mx（x-[4/3]），
当m＞0时，g（x）在（-∞，0），（[4/3]，+∞）上递增，在（0，[4/3]）上递减，
所以g（x）的极小值为g（[4/3]）=-[32/81]m；
当m＜0时，g（x）在（-∞，0），（[4/3]，+∞）上递减，在（0，[4/3]）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0；（8分）
（3）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件，考查学生的转化与化归思想．