已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3的单调递减区间为(−13，1)，单调增区间为(−∞，−13)和（1，+∞）．

解题思路：（1）由题设得f'（x）=0的根为x＝−13或x=1，由此求得a=b=-1，进而得到f（x）的解析式；（2）方程f（x）=lnx+（2e-1）x2-（t+1）x+3可化为x2−2ex+t＝lnxx，令g(x)＝x2−2ex+t，h(x)＝lnxx，分别利用导数求出函数g（x）的最小值与函数h（x）的最大值，对参数t分类讨论，即可得到原方程的根的个数．

（1）f'（x）=3x²+2ax+b（1分）
由题意设得f'（x）=0的根为x＝−
1
3或x=1（2分）
由此求得a=b=-1（3分）
故f（x）=x³=x²-x+3（4分）
（2）原方程可化为x2−2ex+t＝
lnx
x（5分）
令g(x)＝x2−2ex+t，h(x)＝
lnx
x（6分）
则g(x)min＝g(e)＝t−e2（7分）
∵h′(x)＝
1−lnx
x2，h′(e)＝0，
当0＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0
∴h(x)max＝h(e)＝
1
e（9分）
故，当t−e2＞
1
e，即t＞e2+
1
e时，原方程无实数根
当t−e2＝
1
e，即t＝e2+
1
e时，原方程有一个实数根；
当t−e2＜
1
e，即t＜e2+
1
e时，原方程有两个实数根．（10分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及方程根的存在性的判定，体现了分类讨论思想，属于中档题．