已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不

解题思路：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设条件得y1＝−1，y2＝

1

3

．由此入手可求出S△POQ＝

1

2

|OF|•|y1−y2|＝

1

2

|y1−y2|＝

2

3

．
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由题意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知0＜m＜

1

2

．

（1）由已知，椭圆方程可设为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)．（1分）
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴b＝c＝1 ， a＝
2．
所求椭圆方程为
x2
2+y2＝1．（4分）
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2＝2
y＝x−1得3y²+2y-1=0，解得y1＝−1，y2＝
1
3．
∴S△POQ＝
1
2|OF|•|y1−y2|＝
1
2|y1−y2|＝
2
3．（9分）
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．