（2013•资阳二模）若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（1，2）．

解题思路：（Ⅰ）设出抛物线方程，由抛物线过定点求出抛物线的方程，设出等边三角形的另外两个顶点坐标，再由抛物线及等边三角形的对称性即可求解等边三角形的边长；
（Ⅱ）设出MA和MB所在的直线方程，设出A、B两点的坐标，分别把直线和抛物线联立后求得A、B两点的纵坐标，再由两点式写出直线AB的方程，把A、B的坐标代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线AB恒过的定点．

（Ⅰ）根据题意，设抛物线C的方程为y²=ax（a≠0），点M（1，2）的坐标代入该方程，得
a=4，故抛物线C的方程为y²=4x．
设这个等边三角形OEF的顶点E，F在抛物线上，且坐标为（x_E，y_E），（x_F，y_F）．
则yE2＝4xE，yF2＝4xF，又|OE|=|OF|，
∴xE2+yE2＝xF2+yF2，即xE2−xF2+4xE−4xF＝0，
∴（x_E-x_F）（x_E+x_F+4）=0，因x_E＞0，x_F＞0，
∴x_E=x_F，即线段EF关于x轴对称．
则∠EOx=30°，所以
yE
xE＝tan30°＝

3
3，
即xE＝
3yE，代入yE2＝4xE，得yE＝4
3，
故等边三角形的边长为8
3；
（Ⅱ）直线AB恒过定点（5，-6）．
事实上，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线MA方程y=k₁

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求学生具备较强的运算推理的能力，是难题．