已知（0,-根5）是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为根3/2

已知（0,-根5）是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为根3/2
b=√5
e=√(a^2-b^2)/a=√(a^2-5)/a=√3/2
a^2-5=3/4a^2
1/4a^2=5
a^2=20
c=√(a^2-b^2)=√(20-5)=√15
x^2/20+y^2/5=1
x^2+4y^2=20
左右焦点F1(-√15,0）,F2（√15,0）
直线y=1/2x+m与椭圆相交于A、B两点,F1(-√15）F2（√15,0）和AB为对角线构成四边形,则直线与x轴的交点应在F1、F2之间
根据y=1/2x+m,x=2y-2m,令y=0,则x=-2m
-√15＜-2m＜√15
-√15/2＜m＜√15/2
将x=2y-2m代入x^2+4y^2=20：
(2y-2m)^2+4y^2=20
y^2-my+(m^2-5)/2=0
根据伟达定理：y1+y2=m,y1y2=(m^2-5)/2
令A(x1,y1)在左下,B(x2,y2)在右上
SF1AF2B = S△F1F2A+S△F1F2B
= 1/2*2c*|y1|+1/2*2c*|y2|
= c*(y2-y1)
= c√{y1+y2)^2-4y1y2}
= √15*√{m^2-4*(m^2-5)/2}
= √15*√(10-m^2)
档m=0时有最大值√15*√(10-0)=√150=5√6