powerxf 春芽
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(1)证明:∵△ABC为等腰直角三角形,
∴CA=CB,∠A=∠ABC=45°,
由旋转可知:CP=CE,BP=BD,
∴CA-CE=CB-CP,
即AE=BP,
∴AE=BD.
又∵∠CBD=90°,∴∠OBD=45°,
在△AEO和△BDO中,
∠AOE=∠BOD
∠A=∠OBD=45°
AE=BD,
∴△AEO≌△BDO(AAS),
∴OA=OB;
(2)成立,理由如下:
连接AE,则△AEC≌△BCP,
∴AE=BP,∠CAE=∠BPC,
∵BP=BD,
∴BD=AE,
∵∠OAE=45°+∠CAE,∠OBD=90°-∠OBP=90°-(45°-∠BPC)=45°+∠PBC,
∴∠OAE=∠OBD,
在△AEO和△BDO中,
∠AOE=∠BOD
∠OAE=∠OBD
AE=BD,
∴△AEO≌△BDO(AAS),
∴OA=OB,
②当∠BPC=135°时,AB=DE.理由如下:
解法一:
当AB=DE时,由①知OA=OB,∴OA=OB=OE=OD.
设∠PCB=α,由旋转可知,∠ACE=α.
连接OC,则OC=OA=OB,∴OC=OE,
∴∠DEC=∠OCE=45°+α.
设∠PBC=β,则∠ABP=45°-β,∠OBD=90°-∠ABP=45°+β.
∵OB=OD,∴∠D=∠OBD=45°+β.
在四边形BCED中,∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°,
即:(45°+α)+(45°+β)+(90°+β)+(90°+α)=360°,
解得:α+β=45°,
∴∠BPC=180°-(α+β)=135°.
解法二(本溪赵老师提供,更为简洁):
当AB=DE时,四边形AEBD为矩形
则∠DBE=90°=∠DBP,
∴点P落在线段BE上.
∵△ECP为等腰直角三角形,
∴∠EPC=45°,
∴∠BPC=180°-∠EPC=135°.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
考点点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形,是重点题,要熟练掌握.
1年前
你能帮帮他们吗