已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

解题思路：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（Ⅱ）f（x）＞kx-k对任意x＞1恒成立，即k＜[x+xlnx/x−1]对任意x＞1恒成立，求出右边的最小值，即可求得k的最大值．
（Ⅲ）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），叠加，求出a_k＞（k-1）²，再利用放缩法，裂项求和，即可得出结论．

（I）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（II）由（I）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）＞kx-k对任意x＞1恒成立，即k＜
x+xlnx/x−1]对任意x＞1恒成立．
令g（x）=[x+xlnx/x−1]，则g′（x）=[x−lnx−2
(x−1)2，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
则h′（x）=
x−1/x]＞0，
∴函数h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）=[x+xlnx/x−1]在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴[g（x）]_min=g（x₀）=
x0(1+x0−2)
x0−1=x₀∈（3，4），
∴k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4），
故整数k的最大值是3．
（III）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），则有
2ln2＞2•2-3，3ln3•3-3，…，klnk＞2k-3，
将上面各式相加得2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+…+k）-3（k-1）=（k-1）²，
即a_k＞（k-1）²，
故[1
ak＜
1
(k−1)2＜
1
(k−1)(k−2)=
1/k−2]-[1/k−1]（k≥3），
∴
n

k＝3[1
ak＜1-
1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/n−2]-[1/n−1]=1-[1/n−1]＜1．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．