已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵g(x)＝
x+xlnx
x+
9
2(x+1)−k
=1+lnx+[9
2(x+1)−k(x＞0)，
∴g′(x)＝
1/x−
9
2(x+1)2]=
(2x−1)(x−2)
2x(x+1)2，（x＞0）
令g′（x）=0，解得x＝
1
2，或x=2，
列表如下
x （0，[1/2]） [1/2] （[1/2，2） 2 （2，+∞）
g′（x） + 0 - 0 +
g（x） ↑ 极大值
4-ln2-k ↓ 极小值

5
2+ln2−k ↑由于x→0时，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）仅有一个零点，则必须


4−ln2−k＜0

5
2+ln2−k＜0]，或


5
2