已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3

已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3
(1)求a的值 —— 答案为a=1
(2)若k∈Z,且k＜f(x)/(x-1)对任意x>1恒成立,求k的最大值.
第二小题的正确解法我知道,我想请教我的解法在哪里出错了,
我的解法：
(2) k＜(x+xlnx)/(x-1) （*） 在x>1上恒成立
即(k-1)x-xlnx-k1上恒成立
令g(x)=(k-1)x-xlnx-k
则g‘(x)=k-2-lnx 且g‘(x)为减函数
g’(1)=k-2-ln1=k-2
g(1)=k-1-k=-1