已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵g(x)＝
x+xlnx
x+
9
2(x+1)−k
=1+lnx+
9
2(x+1)−k(x＞0)，
∴g′(x)＝
1
x−
9
2(x+1)2=
(2x−1)(x−2)
2x(x+1)2，（x＞0）
令g′（x）=0，解得x＝
1
2，或x=2，
列表如下
x （0，
1
2）
1
2 （
1
2，2） 2 （2，+∞）
g′（x） + 0 - 0 +
g（x） ↑ 极大值
4-ln2-k ↓ 极小值

5
2+ln2−k ↑由于x→0时，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）仅有一个零点，则必须


4−ln2−k＜0

5
2+ln2−k＜0，或


5
2+ln2−k＞0
4−ln2−k＞0，
∴k＞4-ln2，或k＜
5
2+ln2，
∴k∈(−∞，
5
2+ln2)∪(4−ln2，+∞)．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1时恒成立，
即t＜
x+xlnx−2
x−1在x＞1恒成立，
令p（x）=
x+xlnx
x−1（x＞1），p′(x)＝
x−lnx−2
(x−1)2，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则h′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，
h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，且满足x₀∈（3，4），
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴p′(x)＝
x−lnx−2
(x−1)2＜0，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴p′(x)＝
x−lnx−2
(x−1)2＞0，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递增，
∴p(x)min＝p(x0)＝
x0(1+lnx0)
x0−1，
∵h（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，
∴lnx₀=x₀-2．
∴p(x)min＝p(x0)＝
x0(1+lnx0)
x0−1=x₀∈（3，4），
∴t＜p(x)min＝p(x0)＝
x0(1+lnx0)
x0−1=x₀∈（3，4），
故t的最大值为3．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道难题．

1年前

回答问题