（2007•海淀区一模）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．

解题思路：（I）连AC，要证A₁C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC是A₁C在平面ABCD上的射影即可；
（II）说明∠A₁CB₁就是直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角，解三角形A₁CB₁，求直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（III）找出∠B₁CB为二面角B₁-CD-B的平面角，通过角三角形求二面角B₁-CD-B的正切值．

（I）连AC，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD
又侧棱AA₁⊥平面ABCD
∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影
∴A₁C⊥BD（三垂线定理）；（4分）
（II）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，
所以B₁C是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影
∴∠A₁CB₁就是直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角，（6分）
在直角三角形A₁CB₁，A₁B₁⊥B₁C，A₁B₁=2，
B1C＝
B
B21+BC2＝
13
∴tanA1CB1＝
A1B1
B1C＝
2

13＝
2
13
13；（9分）
（III）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BB₁C₁C
∴CD⊥B₁C，CD⊥BC
∴∠B₁CB为二面角B₁-CD-B的平面角，（11分）
∴tan∠B1CB＝
B1B
BC＝
3
2
二面角B₁-CD-B的正切值为[3/2]．

点评：
本题考点： 三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查三垂线定理，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．