3y^2/x^2=2y/x+y' 这个微分方程是怎么求通解的啊·· 答案是y=x/(1+cx^3）

同乘以x/y²
3/x=2/y+y‘(x/y²)
3/x=2/y+y‘(-x)*(-1/y²)
两边同乘以I(x),使得2I(x)=[(-x)I(x)]'
2I(x)=[(-x)I(x)]'
2I(x)=-I(x)-xI(x)'
3I(x)=-xI(x)'
-(3/x)=I(x)'/I(x)
-3ln(x)=ln(I(x))
I(x)=1/x³
3/x^4=2/yx³+y‘(-1/x²)*(-1/y²)
∫3/x^4=(1/y)(-1/x²)
-1/x³+C1=-1/x²y
y=(-1/x²)/(-1/x³+C1)
=x/(1-C1x³)
=x/(1+cx³)
C都是常数,变个表示都一样 ,我开始用的c1是为了说明c1不等于c,但最后常数化来化去还是变成另一个常数
还有,你这个还有一个特殊解y=0,因为一开始我们除了y²,所以要考虑到y=0,结果证明y=0是成立的解
一楼的那位的意思是
y=xt
利用微分的原理得到
dy=dxt+dtx
然后同时除以dx得到
dy/dx=t+x(dt/dx)
y'=t+xt'
因为大家习惯用x为基础求导,
如果以t为底也无不可,过程会不一样,结果还是一样,简而言之就是同样的方法利用不同变量求导,只是你等新手会更加混乱.
还有你对1楼有疑问应该在一楼追问

令y/x=u y=ux y'=u+xdu/dx
3u^2=2u+u+xdu/dx
3u^2-3u=xdu/dx
1/x*dx=1/3u(u-1)*du=1/3*[1/(u-1)-1/u]du
3ln|x|=ln|u-1|-ln|u|+C=ln|1-1/u|+C1
|1-1/u|=|x|^3+e^C1
1-x/y=±(|x^3|+e^C1)
x/y=1±(|x^3|+e^C1)
y=x/[C+x^3] C为常数

令t=y/x
y=xt
y'=t+xt'
代入原方程得
3t^2=3t+xt'
3t(t-1)=xt'
分离变量得
dx/x=dt/[3t(t-1)]
两边积分之后求出t，然后就得到了y

涉及的函数都是一元函数
t是关于x的函数