已知函数f(x)＝ax+bx2+1是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)＝25．

解题思路：①由函数f（x）是奇函数可得f（0）=0可求b，由f(

1

2

)＝

2

5

可求a，进而可求f（x）
②由①可得f(x)＝

x

x2+1

，利用单调性的定义设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)−f(x2)＝

x1

x12+1

−

x2

x22+1

＝

(x1−x2)(1−x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，结合0＜x₁＜x₂＜1，判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可

①∵函数f(x)＝
ax+b
x2+1在（-1，1）上是奇函数
∴f（0）=0
∴b=0…（2分）
又∵f(
1
2)＝
2
5，解得a=1…（2分）
∴f(x)＝
x
x2+1…（2分）
②关于f(x)＝
x
x2+1在（0，1）上是增函数的证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜1，则 …（1分）
f(x1)−f(x2)＝
x1
x12+1−
x2
x22+1＝
(x1−x2)(1−x1x2)
(x12+1)(x22+1)…（2分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0则f（x₁）＜f（x₂）…（2分）
∴f(x)＝
x
x2+1在（0，1）上是增函数．…（1分）

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查了奇函数的性质的应用，f（0）=0，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的应用．