已知f(x)＝ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且满足f(12)＝25，f(0)＝0

已知f(x)＝

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且满足f(

)＝

，f(0)＝0
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

zw520009 1年前已收到1个回答举报

勇敢的沙丁鱼花朵

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解题思路：（1）利用函数的奇偶性即可求出；
（2）利用函数的单调性即可证明．

（1）由满足f(
1
2)＝
2
5，f(0)＝0，
∴

1
2a+b

1
4+1＝
2
5
b＝0，解得

a＝1
b＝0．
∴a=1，b=0，f(x)＝
x
x2+1；
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
f(x2)−f(x1)＝
x2

x22+1−
x1

x21+1＝
x2x12+x2−x1
x22−x1
(
x22+1)(
x21+1)=

点评：
本题考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．

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