（2010•静海县一模）在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠

解题思路：（Ⅰ）由于△ABC中AB边的中线CD等于AB的一半，所以△ABC是直角三角形，易求△ABC的面积，根据重叠部分的面积等于折叠前△ABC的面积的[1/4]，即可得出重叠部分的面积；
（Ⅱ）①假设AC=a成立，根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形AB₁DC为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
②假设S_△ABC=

3

2

a2成立，再由△ABC的面积公式可求出AC=

3

a，根据三角形的三边关系可求出∠B=60°，由平行四边形的判定定理可求出四边形AB₂CD为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
③综合①②可知，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．

（Ⅰ）如右图，∵CD=AD=a，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=60°，
又∵CD=BD=a，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠DCA+∠BCD=90°．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2a，
∴BC=a，AC=
3a，
∴S_△ABC=[1/2]BC•AC=

3
2a²，
又∵重叠部分的面积等于折叠前△ABC的面积的[1/4]，
∴重叠部分的面积=

3
8a²；

（Ⅱ）对于结论①，若AC=a成立，如图（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=[1/2]（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=1

80°-∠ADC=105°，
∵∠CDB₁=∠CDB，
∴∠B₁DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B₁D，
∵B₁D=BD=a=AC，
∴四边形AB₁DC为平行四边形．
∴S_△CED=[1/2]S_△ACD=[1/4]S_△ABC，满足条件，即AC的长可以等于a，故①正确；
对于结论②，若S_△ABC=

3
2a2，
∵S_△ABC=[1/2]AB•AC•sin∠CAB，
∴AC=
3a，
∵AC=

点评：
本题考点： 翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 本题考查的是翻折变换的性质及平行四边形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．