(2010•茂名二模)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视为直角三角形,俯视图为正方形.

(2010•茂名二模)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视为直角三角形,俯视图为正方形.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是侧棱PA上的动点.问:不论点E在PA的任何位置上,是否都有BD⊥CE?请证明你的结论?
(3)求二面角D-PA-B的余弦值.
bluehma 1年前 已收到1个回答 举报

xiaoheilhf 幼苗

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解题思路:(1)根据三视图的数据,结合三视图的特征直接求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是侧棱PA上的动点.不论点E在PA的任何位置上,都有BD⊥CE,说明BD⊥平面PAC,都有CE⊂平面PAC,即可.
(3)在平面DAP过点D作DF⊥PA于F,连接BF.说明∠DFB为二面角D-AP-B的平面角,在△DFB中,求二面角D-PA-B的余弦值.

(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2
∴VP−ABCD=
1
3S正方形ABCD•PC=[1/3×12×2=
2
3].(4分)

(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE(5分)
证明:连接AC,∵ABCD是正方形,
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC.(6分)
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC(7分)
∵不论点E在何位置,都有CE⊂平面PAC.
∵不论点E在何位置,都有BD⊥CE.(9分)

(3)在平面DAP过点D作DF⊥PA于F,
连接BF∵∠ABP=∠ADP=
π
2,AD=AB=1,
DP=BP=
5∴Rt△ADP≌Rt△ABP∴∠PAD=∠PAB,
又AF=AF,AB=AD
从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AP.∴∠DFB为二面角D-AP-B的平面角(12分)
在Rt△ACP中,AP=
AC2+PC2=
(
2)2+22=
6
故在Rt△ADP中,DF=
AD•DP
AP=

5

点评:
本题考点: 由三视图求面积、体积;棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合题.

考点点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形状是解题的关键,同时注意:空间想象能力,逻辑思维能力的培养.

1年前

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