(2010•广东模拟)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方

(2010•广东模拟)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点.
(Ⅰ)求证:BD⊥AE
(Ⅱ)若E为PC的中点,求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若五点A,B,C,D,P在同一球面上,求该球的体积.
疯老六 1年前 已收到1个回答 举报

飞红魏生京 幼苗

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(Ⅰ)证明:由已知PC⊥BC,PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC,
又因为BD⊥AC,∴BD⊥面PAC,
又∵AE⊂面PAC,∴BD⊥AE.
(Ⅱ)解;连AC交BD于点O,连PO,
由(1)知BD⊥面PAC,⇒面BED⊥面PAC,过点E作EH⊥PO于H,则EH⊥面PBD,
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角.
∵EH=
1
3,BE=
2,
则sin∠EBH=

1
3

2=

2
6.
(Ⅲ)以正方形ABCD为底面,PC为高补成长方体,此时对角线PA的长为球的直径,
∴2R=PA=
1+1+4=
6,所以R=

6
2.
V球=
4
3πR3=
6π.

1年前

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