(2010•广东模拟)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方

(2010•广东模拟)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点.
(1)求证:BD⊥AE;
(2)若E是PC的中点,且五点A,B,C,D,E在同一球面上,求该球的表面积.
cr500 1年前 已收到1个回答 举报

zcj1378 幼苗

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解题思路:(1)证明PC⊥面ABCD,BD⊥PC,证明BD⊥面PAC,即可证明BD⊥AE.
(2)几何体的外接球就是扩展为正方体的外接球,求出球的半径,即可求该球的表面积.

(1)证明:由已知PC⊥BC,PC⊥DC,BC∩DC=C,⇒PC⊥面ABCD…(2分)
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC,
又因为BD⊥AC,PC∩AC=C,
∴BD⊥面PAC,
又∵AE⊂面PAC,
∴BD⊥AE.…(7分)
(2)以正方形ABCD为底面,EC为高补成正方体,此时对角线EA的长为球的直径,
∴2R=EA=
1+1+1=
3,
S=4πR2=3π.…(14分)

点评:
本题考点: 球内接多面体;由三视图求面积、体积;球的体积和表面积.

考点点评: 本题是中档题,考查直线与平面垂直,直线与直线垂直的证明,几何体的外接球的表面积的求法,考查空间想象能力,计算能力.

1年前

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