已知函数f（x）=[lnx/x+a]（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．

（1）依题意，f′(x)＝

x+a
x−lnx
(x+a)2（x＞0），（1分）
所以f′(1)＝
1+a
(1+a)2=[1/1+a]，
由切线方程得f′（1）=1，即[1/1+a]=1，解得a=0，
此时f(x)＝
lnx
x（x＞0），f′(x)＝
1−lnx
x2，（3分）
令f′（x）＞0得，1-lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f′（x）＜0得，1-lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）
（2）解法一：
由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f（2014）＞f（2015），
即[ln2014/2014]＞[ln2015/2015]，则2015ln2014＞2014ln2015，
所以ln2014²⁰¹⁵＞ln2015²⁰¹⁴，即2014²⁰¹⁵＞2015²⁰¹⁴（9分）
解法二：

20152014
20142015=(
2015
2014)2014×
1
2014，
因为(
2015
2014)2014=(1+
1
2014)2014
=1+1+
C22014(
1
2014)2+
C32014(
1
2014)3+…+
C20142014(
1
2014)2014
＜2+[1/2!+
1
3!+…+
1
2014!]
＜2+[1/1×2+
1
2×3+…+
1
2013×2014]
＜2+（1-[1/2]）+（[1/2−
1
3]）+…+（[1/2013]-[1/2014]）
=3-[1/2014]＜3，
所以
20152014
20142015＜
3
2014＜1，所以2014²⁰¹⁵＞2015²⁰¹⁴．（9分）
（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则k＞
lnx
x2+
2
x，
记g（x）=[lnx
x2+
2/x]，只需k＞g（x）_max．
又g′(x)＝
1−2lnx
x3−
2
x2=[1−2x−2lnx
x3，（10分）
记h（x）=1-2x-2lnx（x＞0），则h′(x)＝−2−
2/x＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=-1＜0，h(

2
2)＝1−
2−2ln

2
2]=1-
2+ln2＞1-[3/2]+ln2=ln
2

e＞0，
所以存在唯一x0∈(

2
2，1)，使得h（x₀）=0，即1-2x₀-2lnx₀=0，（11分）
当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：

x（0，x₀）x₀（x₀，+∞）
h（x）+0-
g′（x）+0-
g（x）↗极大值↘（12分）
所以g（x）_max=g（x₀）=
2x0+lnx0
x02，
又因为1-2x₀-2lnx₀=0，所以2x₀+2lnx₀=1，
所以g（x₀）=
(2x0+lnx0)+2x0
2x02=
1+2x0
2x02=[1/2•(
1
x0)2+
1
x0]，
因为x0∈(

2
2，1)，所以
1
x0∈(1，
2)，所以
3
2＜g(x0)＜1+
2，（13分）
又g（x）_max≥g（1）=2，所以2≤g(x0)＜1+
2，
因为k＞g（x）_max，即k＞g（x₀），且k∈Z，故k的最小整数值为3．
所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．

1年前

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