（2012•张掖模拟）已知函数f（x）=[1/2]x2+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e为

（1）由题意，ax（2-lnx）≤1对任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤
1
a]对任意x＞0恒成立
令h（x）=x（2-lnx），则h′（x）=1-lnx＞0 得0＜x＜e
故h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，-----------------------（2分）
∴h（x）_max=h（e）=e，∴e≤[1/a]，∴0＜a≤[1/e]．
故所求正实数a的取值范围是（0，[1/e]]．---------（1分）
（2）由（1）知a=[1/e]，此时f（x）=[1/2]x²-3x+2lnx，f′（x）=
x2−3x+2
x＞0得x＜1或x＞2，
故f（x）在区间（[1/e]，1），（2，e）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．----------（3分）
（3）证明：由（2）知f（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
故当x≥1时，[1/2]x²-3x+2lnx≥2ln2-4，即x²-6x+8≥-4lnx+4ln2．
从而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，对任意k∈N₊成立．----------------------------（2分）
于是
n

k＝1（k²-6k+8）≥
n

k＝1（-4lnk+4ln2），
即
n(n+1)(2n+1)
6−
6n(n+1)
2+8n＞-4lnn!+8n＞-4lnn!+4nln2
即
2n3−15n2−17n
6+8n＞4ln
2n
n!．
即ln
2n
n!＜
1
12n³-[5/8]n²+[31/24n成立-------------（4分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的单调性是关键．

1年前

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