设锐角三角形ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c a=2bsinA.求cosA+sinC的取值范围.

因:a=2bsinA
b/sinB=a/sinA=2b
sinB=1/2
B=30度,或150度
所以:cos((B/2)-45度)=cos(-30度)=(根号3)/2
或,cos((B/2)-45度)=cos(30度)=(根号3)/2
cosA+sinC=sin(90度-A)+sinC=2sin(45度-((A-C)/2))*cos(45度-((A+C)/2))
=2sin(45度-((A-C)/2))*cos((B/2)-45度)
=(根号3)*sin(45度-((A-C)/2))
当(A-C)/2=-45度,C-A=90度,cosA+sinC为最大值:根号3
A-C=(A+C)-2C=180度-B-2C(根号3)*sin(-30度)
cosA+sinC>-(根号3)/2
综合以上,得:-(根号3)/2

sinA=2sinBsinA
1=2sinB
sinB=1/2
因为是锐角三角形，所以B=30`
cosA+sinC=cosA+sin(150`-A)
=3cosA/2+√3sinA/2
=(√3)sin(60`+A)
0`60`<60`+A<150`
sin(60`+A)∈（0.5,1]
原式范围为（√3/2,√3]