函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x＝−23与x=1时都取得极值

解题思路：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-[2/3]和x=1代入求出a、b即可；
（2）求出f′（x），分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调区间．

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f‘(−
2
3) ＝0
f’(1)＝0 即

3×(−
2
3)2−
4
3a+b＝0
3+2a+b＝0
解得

a＝−
1
2
b＝−2
（2）由（1）可知f（x）=x³-[1/2]x²-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）＜0，解得-[2/3]＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-[2/3]或x＞1，
∴f（x）的减区间为（-[2/3]，1）；增区间为（-∞，-[2/3]），（1，+∞）．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的解法．