设N是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证N的平方+5一定是6的倍数.

1、考虑N除以6的余数,只能是1或5,不然的话一定能被2或3整除,于是N＝6k±1(k为自然数,且k≥1)
∴N^2＋5＝(6k±1)^2＋5＝36k^2±12k＋6＝6(6k^2±2k＋1)是6的倍数
2、3x^2－11xy＋6y^2－xz－4yz－2z^2
＝(3x－2y)(x－3y)－(x＋4y)z－2z^2
＝(3x－2y＋2z)(x－3y－z)
3、设a是方程x^2－4cos2α·x－2＝0的根,则1/a必为方程2x^2＋4sin2α·x－1＝0的根,得：
a^2－4cos2α·a－2＝0
2/a^2＋4sin2α/a－1＝0 即：2＋4sin2α·a－a^2＝0
上述两方程相加得：
4sin2α·a－4cos2α·a＝0
得：sin2α＝cos2α
故有：tan2α＝1
∴2α＝45°
∴α＝22.5°

x

第一题
（1）
它不是2的倍数，一定是奇数，它的平方也是奇数，它的平方加5是偶数。所以，这个数的平方+5一定是2的倍数
（2）
它不是3的倍数，可两种可能：（2-1）除以3余1，（2-2）除以3余2，下面分别分析。
（2-1），设它为3k+1
(3k+1)^2+5=9k+3k+1+5=9k+6k+6=3(3k+2k+2)
是3的倍数。