已知函数f（x）=cosx2(3sinx2+cosx2)．

解题思路：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+[π/6]）+[1/2]，由此可得函数的最小正周期，再令 2kπ-[π/2]≤x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，可得x的范围，即可求得单调递增区间．
（2）由函数f（x）=1求得sin（x+[π/6]）=[1/2]，再由cos（

2π

3

−2x）=cos2（

π

3

−x） 利用二倍角公式、诱导公式求得结果．

（1）函数f（x）=cos
x
2(
3sin
x
2+cos
x
2)=

3
2sinx+[1/2cosx+
1
2]=sin（x+[π/6]）+[1/2]，---（3分）
所以函数f（x）的最小正周期为T=2π．-------（4分）
令 2kπ-[π/2]≤x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，可得2kπ-[2π/3]≤x+[π/6]≤2kπ+[π/3]，k∈z．
故函数y=f（x）的单调递增区间为[2kπ-[2π/3]，2kπ+[π/3]]，k∈z．-----------（6分）
（2）函数f（x）=sin（x+[π/6]）+[1/2]=1，即 sin（x+[π/6]）=[1/2]，--------（7分）
故 cos（[2π/3-2x）=cos2（
π
3-x）═2cos²（
π
3-x）-1=2sin2(x+
π
6)-1=-
1
2]． （12分）

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．

（1）f（x）=cos(x/2)（√3sin(x/2)+cos(x/2)）=√3cos(x/2)sin(x/2)+cos(x/2)^2
=√3sinx/2+cosx/2+1/2=sin(x+π/6)+1/2
f(x)只是y=sinx的图像向左平移π/6个单位，再向上平移1/2个单位所得图像
所以f(x)的最小正周期为2π，
因为y=sinx的递增区间为(-π/2+2...