ami6311
幼苗
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已知抛物线
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;
(3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,
使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)由y=0得,ax
2 -2ax-3a=0,
∵a≠0,
∴x
2 -2x-3=0,
解得x
1 =-1,x
2 =3,
∴点A的坐标(-1,0),点B的坐标(3,0);
(2)由y=ax
2 -2ax-3a,令x=0,得y=-3a,
∴C(0,-3a),
又∵y=ax
2 -2ax-3a=a(x-1)
2 -4a,
得D(1,-4a),
∴DH=1,CH=-4a-(-3
a)=-a,
∴-a=1,
∴a=-1,
∴C(0,3),D(1,4),
设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入得,
,
解得
,
∴直线CD的解析式为y=x+3;
(3)存在.
由(2)得,E(-3,0),N(-
,0)
∴F(
,
),EN=
,
作MQ⊥CD于Q,
设存在满足条件的点M(
,m),则FM=
-m,
EF=
=
,MQ="OM="
由题意得:Rt△FQM∽Rt△FNE,
∴
=
,
整理得4m
2 +36m-63=0,
∴m
2 +9m=
,
m
2 +9m+
=
+
(m+
)
2 =
m+
="±"
∴m
1 =
,m
2 ="-"
,
∴点M的坐标为M
1 (
,
),M
2 (
,-
).
略
1年前
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