已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：
已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：f(x)是偶函数
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zy19860506 幼苗
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取x=y=0,代入原式:
f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
因为f(x)恒不为零,所以f(0)=1
取x=0,代入原式:
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
把f(0)=1代入:
f(y)=f(-y)
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数
f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
因为f(x)恒不为零,所以f(0)=1
取x=0,代入原式:
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
把f(0)=1代入:
f(y)=f(-y)
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数
1年前
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由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ，令 x=y=0带入
得到 f(0)=0 或 1
若f(0)=0时 令x=1 y=0得f(1)=0
令x=2 y=0得f(2)=0
与条件f(1)≠f(2)矛盾，所以f(0)=1
把 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 中的y换为 -y ，...
得到 f(0)=0 或 1
若f(0)=0时 令x=1 y=0得f(1)=0
令x=2 y=0得f(2)=0
与条件f(1)≠f(2)矛盾，所以f(0)=1
把 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 中的y换为 -y ，...
1年前
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