如图1，矩形纸片 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝4 ，将矩形纸片沿对角线 AC 向下翻折，点 D 落在点 D’

如图1，矩形纸片 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝4 ，将矩形纸片沿对角线 AC 向下翻折，点 D 落在点 D’ 处，联结 B D’ ，如图2，求线段 BD ^’ 的长．

设 AD’ 交 BC 于 O ，
方法一：
过点 B 作 BE ⊥ AD’ 于 E ，
矩形 ABCD 中，
∵ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ，
∠ B ＝∠ D ＝∠ BAD ＝90°，
在Rt△ ABC 中，
∵tan∠ BAC ＝ ，
∴∠ BAC ＝60°，∴∠ DAC ＝90°—∠ BAC ＝30°，……………………………2分
∵将△ ACD 沿对角线 AC 向下翻折，得到△ ACD’ ，
∴ AD’ ＝ AD ＝ BC ＝ ，∠1＝∠ DAC ＝30°，
∴∠4＝∠ BAC —∠1＝30°，
又在Rt△ ABE 中，∠ AEB ＝90°,∴ BE ＝2， ……………………………………4分
∴ AE ＝ ，∴ D’E ＝ AD’ — AE ＝ ，
∴ AE ＝ D’E ，即 BE 垂直平分 AD’ ，∴ BD’ ＝ AB ＝4. ……………………………5分
方法二：
矩形 ABCD 中，∵ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ，∠ B ＝∠ D ＝90°，∴∠ ACB ＝∠ DAC ，
在Rt△ ABC 中，∵tan∠ BAC ＝ ，
∴∠ BAC ＝60°，∴∠ ACB ＝90°—∠ BAC ＝30°，……………………………2分∵将△ ACD 沿对角线 AC 向下翻折，得到△ ACD’ ，
∴ AD ＝ AD’ ＝ BC ，∠1＝∠ DAC ＝∠ ACB ＝30°，
∴ OA ＝ OC ，
∴ OD’ ＝ OB ，∴∠2＝∠3，
∵∠ BOA ＝∠1＋∠ ACB ＝60°, ∠2＋∠3＝∠ BOA ，
∴∠2＝ ∠ BOA ＝30°，…………………………………………………………4分
∵∠4＝∠ BAC —∠1＝30°，∴∠2＝∠4，∴ BD’ ＝ AB ＝4.

略