如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD= ．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片
| 如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=  ．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN的度数． （2）△MNK的面积能否小于  ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值及∠1的度数。 |
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（1）∵ ABCD 是矩形，∴ AM ∥ DN ，
∴∠ KNM =∠1．∵∠ KMN =∠1，
∴∠ KNM =∠ KMN ． ∵∠1=70°，
∴∠ KNM =∠ KMN =70°．∴∠ MKN =40°．（2分）
（2）不能．（3分）
由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面积=
KN=
,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为
，所以此三角形面积不能小于 （5分）
（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，
情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D重合，设MK=MD=x,则AM=
- x,由勾股定理，得
，
1+
,所以
Sin∠AMD=
∠AMD=45°, ∠1=67.5°（8分）
情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC ．
设 MK = AK = CK = x ，则 DK = - x ，同理可得
即MK=NK=
∴
Sin∠AKD= , ∠AKD=45°, ∠1=22.5°
∴△ MNK 的面积最大值为 ,∠1=67.5°或22.5°（10分）
利用折叠的性质求解
∴∠ KNM =∠1．∵∠ KMN =∠1，
∴∠ KNM =∠ KMN ． ∵∠1=70°，
∴∠ KNM =∠ KMN =70°．∴∠ MKN =40°．（2分）
（2）不能．（3分）
由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面积=
KN=
,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为
，所以此三角形面积不能小于 （5分）（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，
情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D重合，设MK=MD=x,则AM=
- x,由勾股定理，得
，1+
,所以
Sin∠AMD=
∠AMD=45°, ∠1=67.5°（8分）
情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC ．
设 MK = AK = CK = x ，则 DK =
- x ，同理可得即MK=NK=
∴
Sin∠AKD=
, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°∴△ MNK 的面积最大值为
,∠1=67.5°或22.5°（10分） 利用折叠的性质求解
1年前
6
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你能帮帮他们吗