如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸
| 如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK. (1)若∠1=70°，求∠MKN的度数. (2)△MNK 的面积能否小于  ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由.(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值. |
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∵ABCD是矩形，
∴AM// DN
∴∠KNM=∠1.
∵∠CMN=∠1
∴∠XNM=∠KMN.
∵∠1 =70°，
∴∠XNM=∠ KMN= 70°.
∴∠MKN= 40°
(2)不能，过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1
由(1)知∠KNM=∠XMN.
∴MK= NK
又MK≥ME
∴NK≥1.
∴S △AMK =
NK·ME≥
∴△MNK 的面积最小值为
，不可能小于
(3)分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合.
设MK= MD=x，则AM=5-x
由勾股定理得：1 2 + (5-x) 2 =x 2 ，
解得，x=2.6
即MD= ND= 2.6.
∴S △MNK = S △ACK =
×1×2.6 =1.3
情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为 AC.
设MK=AX= CK=x
则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6.
∴S △MNK = S △ACK =
×1×2.6 =1.3
∴△MNK的面积最大值为1.3.
∴AM// DN
∴∠KNM=∠1.
∵∠CMN=∠1
∴∠XNM=∠KMN.
∵∠1 =70°，
∴∠XNM=∠ KMN= 70°.
∴∠MKN= 40°
(2)不能，过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1
由(1)知∠KNM=∠XMN.
∴MK= NK
又MK≥ME
∴NK≥1.
∴S △AMK =
NK·ME≥
∴△MNK 的面积最小值为
，不可能小于
(3)分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合.
设MK= MD=x，则AM=5-x
由勾股定理得：1 2 + (5-x) 2 =x 2 ，
解得，x=2.6
即MD= ND= 2.6.
∴S △MNK = S △ACK =
×1×2.6 =1.3
情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为 AC.
设MK=AX= CK=x
则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6.
∴S △MNK = S △ACK =
×1×2.6 =1.3∴△MNK的面积最大值为1.3.
1年前
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