在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ

因为△ACQ∽△BCP(∠B=∠A,∠BCP=∠AQC)
所以(PA+PQ)/BC=BC/(PQ+BQ)
整理BC^2=PQ^2+AP*BQ+PQ*AP+PQ*BQ (1)
而AB^2=2BC^2
AB=AP+PQ+BQ
AB^2=(AP+PQ+BQ)^2
=AP^2+PQ^2+BQ^2+2AP*PQ+2AP*BQ+2PQ*BQ
再将1式代入
2BC^2=2PQ^2+2AP*BQ+2PQ*AP+2PQ*BQ
=AP^2+PQ^2+BQ^2+2AP*PQ+2AP*BQ+2PQ*BQ
所以PQ^2=AP^2+BQ^2
问题得证.

讨厌直接用辅导教材来回答的人

作CD⊥CP,CD=CP,连DB，
角ACP=角DCB=90度-角PCB，
△ACP≌△BCD，
BD=AP，
角DBC=45度，
角DBQ=90度，
QD^2=QB^2+DB^2=BQ^2+AP^2
角PCQ=角DCQ=45度，
△PCQ≌△DCQ,
QD=PQ，
PQ^2=AP^2+BQ^2