如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E、F在AC上,且DF交BE于G,角FGE=45°.

证明：（1）BG×BE与BD×BC相等
连接AD
∵ AB=AC, ∠BAC=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45° （对项角）
∴∠C=∠BGD
∵GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD×BC=BG×BE
（2）∵ BD×BC=BG×BE
∴BG= BD×BC/BE= （1/2）BC×BC/BE= AB^2/BE
∴ AB/BG= BE/AB ∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE
（3）∵∠FGE=45° AG⊥BE
所以: GF是∠AGE的平分线
∴ EF/AF=EG/AG
又∵ AE^2=EG×BE ∴ EG=AE^2/BE
∴ EF/AF=EG/AG=AE^2/（EB×AG）
=AE^2/(AE×AB)=AE^2/(AE×2AE)=1/2
所以:EF= (1/3)AE,连接ED,则:DE=(1/2)AB=AE, DE⊥AC
所以:DF^2=DE^2+EF^2=(√10/3)AE
∴EF：FD=1：√10