已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2
已知椭圆C1：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）如图，C、D分别为椭圆C1的上下顶点，M为椭圆C1上的一动点，过点M做圆C2：（x-1）2+y2=1的两条切线分别交y轴于点P，Q两点，记△MCD、△MPQ的面积分别为S1，S2，求
| S1 |
| S2 |
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（1）∵椭圆C1：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，
∴
a＝2b
b2
a＝1，解得b=2，a=4，
∴椭圆C1的标准方程为
x2
16+
y2
4＝1．
（2）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点M（x0，y0），
切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y+y0-kx0=0，
∴
|k+y0−kx0|
k2+1=1，
∴（x02−2x0）k2+2（1-x0）y0k+y02-1=0，
记其两根分别为k1，k2，
在y-y0=k（x-x0）中，
令x=0，得y=y0-kx0，∴|PQ|=|（k1-k2）x0|，
∴|PQ|2=x02[(k1+k2)2−4k1k2]
=
4(1−x0)2y02−4(x02−2x0)(y0
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，
∴
a＝2b
b2
a＝1，解得b=2，a=4，
∴椭圆C1的标准方程为
x2
16+
y2
4＝1．
（2）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点M（x0，y0），
切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y+y0-kx0=0，
∴
|k+y0−kx0|
k2+1=1，
∴（x02−2x0）k2+2（1-x0）y0k+y02-1=0，
记其两根分别为k1，k2，
在y-y0=k（x-x0）中，
令x=0，得y=y0-kx0，∴|PQ|=|（k1-k2）x0|，
∴|PQ|2=x02[(k1+k2)2−4k1k2]
=
4(1−x0)2y02−4(x02−2x0)(y0
1年前
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