（2014•淮南二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为22，离心率为22．
（2014•淮南二模）已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）点B为椭圆C的下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（异于上顶点），且AB中点E在直线y=x上，
（ⅰ）求直线AB的方程；
（ⅱ）点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，若直线AP，BP分别交直线y=x与M，N两点，证明：
| OM |
| ON |
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解题思路：（1）根据椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的长轴长为2
，离心率为
，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）（ⅰ）求出A的坐标，代入椭圆方程，即可求直线AB的方程；
（ⅱ）确定直线AP、BP的方程与y=x联立，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，即可证明
•
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）（ⅰ）求出A的坐标，代入椭圆方程，即可求直线AB的方程；
（ⅱ）确定直线AP、BP的方程与y=x联立，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，即可证明
| OM |
| ON |
（1）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的长轴长为2
2，离心率为
2
2，
∴2a=2
2，e=[c/a]=
2
2，
∴a=
2，b=1，
∴椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1…（3分）
（2）（i）由（1）知B（0，-1），设点E（m，m）．
∵点E为AB中点，∴A（2m，2m+1），
又∵点A在椭圆上，∴
(2m)2
2+(2m+1)2＝1
解得：m=0（舍）或m＝−
2
3，
∴直线AB的方程为：y＝−
1
2x−1．…（8分）
（ii
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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