如图,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中,OA＝4,OC＝3.抛物线顶点在BC上,且抛物线经过O,C.直线AC交抛物线
如图,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中,OA＝4,OC＝3.抛物线顶点在BC上,且抛物线经过O,C.直线AC交抛物线于D. 求解:若M在抛物线上,N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?有,求出N坐标,无,说明理由.
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⑴抛物线过O、A(4,0),∴对称轴X=2,
又OC=3,∴顶点坐标(2,3),
设Y=a(X-2)^2+3,又过O(0,0),∴a=-3/4,
∴Y=-3/4(X-2)^2+3=-3/4X^2+3X.
⑵易得直线AC：Y=-3/4X+3,
联立方程组：
Y=-3/4X+3
Y=-3/4X^2+3X,
解得：X=1或4,Y=3/4或0,
∴D(1,9/4).
⑶AD中点E(5/2,9/8),
当AD为对角线时,M、N关于E对称,
N的纵坐标为0,∴M纵坐标为9/4,∴M(3,9/4),N(2,0).
当AD为边时,过M作MH⊥X轴于H,BN‘=4-1=3,(向右平移AD2个单位),
∴N(6,0).
又OC=3,∴顶点坐标(2,3),
设Y=a(X-2)^2+3,又过O(0,0),∴a=-3/4,
∴Y=-3/4(X-2)^2+3=-3/4X^2+3X.
⑵易得直线AC：Y=-3/4X+3,
联立方程组：
Y=-3/4X+3
Y=-3/4X^2+3X,
解得：X=1或4,Y=3/4或0,
∴D(1,9/4).
⑶AD中点E(5/2,9/8),
当AD为对角线时,M、N关于E对称,
N的纵坐标为0,∴M纵坐标为9/4,∴M(3,9/4),N(2,0).
当AD为边时,过M作MH⊥X轴于H,BN‘=4-1=3,(向右平移AD2个单位),
∴N(6,0).
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